Però resulta que de joc mil·lenari i japonès en té ben poc, ja que va ser l’arquitecte nord-americà Howard Garns, qui l’inventà… en 1979! Quina decepció.

Els sudokus es feren populars a Japó en la dècada dels vuitanta quan una companyia de puzzles comença a comercialitzar-los en el país de l’orient, però s’estengueren mundialment l’any 2004 quan el periòdic britànic The Times començà a incloure’ls entre les seves pàgines junt a sopes de lletres, encreuats i demés passatemps.

El joc

El joc consisteix senzillament en omplir un tauler de costats 9×9 amb nombres de l’1 al 9 de manera que no hi haja dos nombre iguals en cap fila, ni cap columna, ni cap bloc de 3×3. Els taulers de sudoku tenen la següent forma.

Un exemple de Sudoku (punxa per veure la solució)

Depenent del nombre de quadres plens que ens donen i la posició dels nombres amb els que comencem el joc resulta més difícil o menys.

El principi

Jo fins fa dos anys no havia jugat en ma vida al joc aquest. N’havia vist, sí, però no havia jugat mai. Fou a juny de 2007, de camí a València per comprar els bitllets del (fallit) Interrail quan vaig jugar per primera vegada amb Marina i Blai. Marina i jo ens vàrem picar a veure qui podia completar-ne més ràpidament així que em vaig comprar un llibre d’aquests que estan tot plens de sudokus per anar fent-lo durant el viatge, però circumstàncies de la vida que ja coneixeu feren que el llibre l’emplenés en l’hospital.

I a què ve tot açò? Doncs l’altre dia estàvem en classe d’Estructures de Dades i Algorismes (a.k.a EDA) aprenent sobre Backtracking i sorgí l’exemple del sudoku, així que el professor va fer un programa que resolia sudokus fent servir aquest esquema algorísmic. Quan va acabar el programa va dir: “Podríem fer que ens imprimira tots els sudokus possibles…” i va llançar el programa per a que fera això, però com que ja era hora d’acabar la classe ací va quedar la cosa.

Jo, ahir que no sabia que fer (ara que ja s’ha acabat el concurs de l’assignatura) i com que no havia practicat encara res de Backtraking per compte propi em vaig dir: “Xe, anem a fer el programeta per resoldre sudokus“. I em vaig posar en això. Quan vaig acabar-lo em vaig preguntar per què no acabar la tasca que el professor havia començat però havia abandonat per falta de temps i vaig llançar el meu programa per a que em mostrara tots els sudokus que es podien formar en un tauler de 9×9.

Ignorant de mi. Com veia que tardava me’n vaig anar a berenar esperant que quan tornes tindria ja tots els sudokus possibles. Però com ja imaginareu, quan vaig tornar el portàtil estava a 74ºC  (i això que havia limitat la freqüència a 996MHz) i el fitxer de solucions ja ocupava centenars de MB. Va ser ací quan em vaig adonar que segurament serien MOLTS sudokus…

Concretament, hi han 6,670,903,752,021,072,936,960 taulers de sudoku possibles (o deixe expressat així i no en notació científica per a que s’aprecie millor la magnitud d’aquest nombre). I ací és on comença el friquisme.

Parlant matemàticament…

Hi ha un extens article en la Wikipedia anglesa dedicat a les matemàtiques relacionades amb aquest joc, la seva llista de referències no es queda curta i són moltes les investigacions sobre Combinatòria i també Complexitat Computacional que es centren en aquest joc.

El problema general del sudoku entès com un tauler de caselles agrupades en blocs de (9×9 caselles agrupades en blocs de 3×3, en el nostre cas), es pot expressar com un problema de colorejat d’un graf, on cada casella seria un vèrtex del graf enumerat de la forma (on )¹ i on dos vèrtex estarien units per una aresta si:

• (dues caselles d’una mateixa columna).
• (dues caselles d’una mateixa fila).
• (dues caselles en un mateix bloc).

Llavors, la solució seria assignar un color entre els possibles a cada vèrtex (un nombre de l’1 al 9 vaja) de manera que qualsevol aresta no tinga el mateix color en el seus dos extrems.

Doncs veges tu per on, aquest problema és un problema del tipus NP-Complet. Jo havia sentit parlar d’aquesta classe de problemes (per tot allò de P = NP?, un dels set problemes del mil·leni, la solució dels quals és premiada amb un milió de dòlars), però fins aquesta vesprada no sabia concretament que era un problema NP-Complet i tampoc estic segur de saber-ho ara, així que abans de contar-vos alguna bajanada us referencie a l’article de la Wikipedia.

El que sí us sé dir és que, en poques a paraules, no es coneix un algorisme “eficient”, on eficient significa polinòmic () per solucionar el problema. El que fa l’algorisme basat en Backtracking és explorar tot l’arbre de possibles solucions descartant aquelles que no complisquen les condicions del joc (descrites anteriorment).

Haurem de renunciar doncs, de moment, a trobar tots els possibles sudokus… Podríem seguir parlant de com, almenys, comptar quantes són aquestes solucions, però per això necessitaríem un apunt encara més llar i ja s’està fent tard i tampoc era eixe l’objectiu del post. Si us he despertat un poc l’interès i us ha picat el cuquet friqui, podeu visitar aquesta pàgina web de Bertram Felgenhauer i Frazer Jarvis que dugueren endavant els càlculs.

—

¹ Pregue que disculpeu el formalisme d’algunes expressions, però aprofite l’apunt per provar que dóna de sí el plugin WP-Latex.

En l’anterior article que vaig escriure (La transferència de l’oblit) us vaig proposar elaborar una xicoteta aplicació de l’algorisme que us havia comentat. Doncs bé, no sé si vosaltres ho haureu fet. Jo sí.

El programeta que he elaborat és un programa d’esteganografia. Què és l’esteganografia? Doncs la rama de la criptología que estudia el xiframent de missatges de text. Senzillament, al programa se li indica un arxiu d’entrada i un arxiu d’eixida que anirà xifrat. I després, indicant-li l’arxiu xifrat pots obtenir un arxiu desxifrat, que mostra el mateix text que l’arxiu d’entrada.

Si us fixeu estic escrivint els articles tècnics en aquell blog i fent una ressenya ací. No us ho prengueu a mal, però crec que a molts dels visitants que visiten el meu blog, no els interessen especialment aquest tipus d’articles, per això no els escric directament ací.

Podeu llegir l’article sencer en la pàgina web del grup Forat de cuc.

La criptografia és la tècnica d’ocultar missatges i actualment és una branca de les Matemàtiques i la Informàtica. Per tal de xifrar els missatges se solen utilitzar algorismes matemàtics, normalment molt complexos. Però també hi han de senzills, com el dissenyat per Michael Rabin (Universitat de Harvard)en 1981: La transferència de l’oblit.

La transferència de l’oblit en Forat de cuc.

De entre les diferents formes de demostrar-ho, la Wikipèdia separa entre rigoroses i no rigoroses. Deixant a banda les rigoroses, que no són massa complexes (una successió i un límit, no res que un alumne de 1r de Batxillerat no sàbia fer…), però que poden no interessar, per la seva formalitat, a molts dels visitants d’aquest blog, a mi m’han agradat especialment aquests dos mètodes:

Multiplicació de 1/3:

1/3 = 0,333…
3 x 1/3 = 3 x 0,333…
3/3 = 0,999…
1 = 0,999…

No existeix cap nombre entre 0,999… i 1:

Quants nombres existeixen entre 1 i 2? I entre 1 i 0,1? Doncs infinits, perquè entre dos nombres diferents existeix almenys un nombre entre els dos.

Hi ha algun nombre entre 0,999… i 1? Doncs no, així que els dos són el mateix nombre.

54LU7 1 R3PÚ8L1C4!

Bé, en un dia com avui, la part geek del meu allò freudià s’apodera de les meves mans i escriu trava (content? ) aquest poema per recordar els vint primers decimals de pi.

Soy y seré a todos definible,
mi nombre tengo que daros.
Cociente diametral siempre inmedible,
soy de los redondos aros.

Si 2 + 2 = 5 significa que 4 = 5. Si restem tres tenim que 1 = 2. Vosté i el Papa són dos, així què vostés dos són un.

Deixant a banda el “trellat” de la resposta, és increïble amb la rapidesa que va poder trobar la solució al problema.

Un home afirma que està mentint. El què diu és vertader o falç?

I ací tenim el naixement d’una de les paradoxes més famoses del món que serví a un dels matemàtics lògics més importants del segle passat, Kurt Gödel, per demostrar el seu Teorema de la incompletitut. Aquesta paradoxa ens afirma que hi ha enunciats que segueixen les normes gramaticals i semàntiques, però que no tenen un valor de veritat en la lògica tradicional.
Gödel el que va fer (bàsicament) va ser transformar aquesta enunciació en números, per demostrar que amb les matemàtiques passava el mateix que amb la llengua.

Gödel prova que, en qualsevol sistema formal que inclou la aritmètica, pot formar-se una proposició P que afirme que aquest enunciat no es pot demostrar. Si es pogués demostrar P, el sistema seria contradictori: no sería consistent. Aleshores P no es demostrable i per tant és vertader.

Aquest teorema fou de vital importància per a les investigacions i formulacions d’Alan Turing i està relacionat en un dels problemes que queda per resoldre avui en dia en el camp de les matemàtiques/computació, concretament la complexitat computacional: el problema P = NP.

I tornant a Gödel, una última cosa sobre la seva vida. Va tenir una salud física i mental molt fràgil durant tota la seva existència fins que al final, convertit en un paranoico-depresiu, va deixar de menjar per evitar ser envenenat i va morir d’inanició el 14 de gener de 1978.

Una de les llegendes diu que Alfred Nobel s’informà de qui mereixeria guanyar el premi i en el llistat aparegué el nom de Mittag-Leffler, un matemàtic suec, com a millor opció per guanyar el premi de matemàtiques. Pareix ser que com que Nobel i Mittag-Leffler no es portaven massa bé, Novel va llevar la categoria de matemàtiques per evitar que Mittag-Leffler guanyés el premi.

Una variant d’aquesta, molt més a l’estil Salsa Rosa o Dolce Vita, és que la dona de Nobel l’enganyava amb el matemàtic i aquest per venjar-se no instaurà premi per a aquesta ciència.

Però, fora llegendes, la realitat ens diu que els dos erudits no aplegaren a conèixer-se pràcticament. Sembla que el motiu fou que Nobel no considerà tan importants les matemàtiques com per a guardonar-les amb un premi.

Per tal de compensar aquest buit, es crearen els Premis Abel i, més important encara, la medalla Fields, que la reb, cada quatre anys, el que es considera el millor matemàtic. Aquest mateix any, s’ha guardonat amb aquesta medalla a un matemàtic brillant i molt peculiar.

Grigori Perelman, un rus emigrat als EUA, demostrà la Conjetura de Poncairé (ara, després de la demostració, teorema), un dels set enigmes de les matemàtiques. Doncs bé. Per la seva demostració, fou premiat amb la medalla Fields que (atenció) rebutjà!

Són suficients quatre colors per colorejar qualsevol mapa imaginable de manera que cap país amb límits comuns tinga el mateix color?

El que pareixia en una simple pregunta per divertir a la germana petita es convertí en un enigma matemàtic que durà més de 100 anys.

Anteriors matemàtics havien demostrat que tres colors no eren suficients per colorejar qualsevol tipus de mapa i el matemàtic De Morgan havia demostrat que amb cinc colors sí que era suficient, però quedava encara el problema dels quatre colors.

Fou l’any 1952 quan dos matemàtics, Kenneth Appel i Wolfgang Haken, demostraren que amb quatre colors hi havia prou per resoldre el problema. Però a més, la seva demostració significava alguna cosa més. Fou la primera vegada que s’usava un ordinador per demostrar un teorema matemàtic. I a més, al intentar resoldre el problema definiren termes i conceptes teòrics fundamentals per a la Teoria de Grafos, marcant així el naixement de l’estudi dels grafos. Els qui estudien informàtica que ens visiten, imagine que estaran més familiaritzats amb aquest terme.

Recentment, a l’any 2000, el matemàtic Ashay Dharwadker ha aconseguit demostrar el teorema dels quatre colors sense l’ajuda de cap ordinador. La demostració la podeu trobar ací, però no sé si us servirà de molt, perquè és complicadíssima.

PD: M’acabe de fixar que aquest és l’artícle número 100. Felicitats al blog!

La primera vegada que em vaig posar a escriure l’article vaig començar amb demostracions, però l’article havia quedat massa llarg i carregat de demostracions matemàtiques, així que mentre ho llegiu us ho creieu i després si us interessa més, podeu llegir unes fantàstiques pàgines web on està tot explicat i demostrat. L’únic que faré serà posar el valor de fi: Fi = 1,618….

Començarem parlant un poc d’ell. El número auri no és un decobriment recent, hi ha dades de què els antics sumeris (3200 aC) ja coneixien de la seva existència, però sense dubte, qui més famós va fer el nombre fou l’antiga civilització grega i en especial la secta matemàtica més famosa del món, fundada pel filòsof i matemàtic de Samos, Pitàgores.

Hi ha que tenir en compte que els grec, i la secta, no entenien els números com els entenem avui en dia nosaltres, sinó que els entenien com a proporcions. Així, els grecs usaren el número auri per construir els seus temples, entre ells, un dels més famosos: el Partenó.

Després de la fosca edat mitjana, en el renaixement i en especial, Leonardo Da Vinci, tornaren a usar el nombre auri. Da Vinci, usà aquesta proporció per dibuixar l’home de Vitruvi, per explicar la seva anatomia i per dibuixar la Gioconda.

Però ens hem avançat un poc en la història, perquè segles abans, un dels matemàtics més importants, sobretot per la relació entre matemàtiques i naturalesa, havia descobert una misteriosa i fascinant sèrie, que també està relacionada amb el número auri. Parle de l’italià Fibonacci. La sèrie: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … Està relacionada moltíssim amb el nombre auri. Si agafem un terme i el dividim per l’anterior, anem aproximant-nos cada vegada més al nombre auri.

En l’actualitat segueix usant-se aquesta proporció. Entre altres, el famós edifici de l’ONU a Nova York està relacionat amb el número. En l’edifici, un simple prisma, podem veure que la seva cara major és un rectangle, els costats del qual segueixen la proporció àurea.

Però ací no acaba la cosa. Els experts diuen, que la proporció àuria és harmònica i això, els entesos en màrketing ho han aplicat a la perfecció en un dels productes més consumits en el món: el tabac. La cara major d’un paquet de tabac, també és un rectangle auri.

Us he parlat del rectangle auri, però hi ha altres figures com el pentàgon (i el pentagrama, emblema de la secta pitàgorica) que també estan relacionades amb el nombre auri.

En les amonites podem veure que la seva closca segueix una espiral logarítmica, espiral construïda a partir de rectangles auris i quadrats. O també algunes galàxies, com la Via Lactea, també tenen braços en forma d’espiral logarítmica.

La proporció es repeteix en la naturalesa en fruits, flors, animals, forats negres, el sistema solar i un llarg etcétera. Però allò important no és la proporció en si, sinó per què es repeteix continuament. Inventem les matemàtiques o les descobrim? Eixa és la qüestió.

Enllaços interessants:

• Fi en la Wikipèdia en castellà
• Fi en la Wikipèdia en anglès
• Castor.es
• RT000Z8Y.Eresmas.net
• GoldenRatio.com.ar

Llibres interessants (que he llegit. Gràcies Ernesto):

• The Divine Proportion de H.E. Huntley (anglès). Tractat matemàtic sobre fi.
• El turista matemático de Ivars Peterson. Llibre de divulgació sobre matemàtiques, té una part dedicada a aquesta proporció.

Documentals interessants:

• Redes: La proporción áurea (Capítol 364).
• El universo matemático: La proporción áurea.