Aquest post no és exactament sobre informàtica, pero si sobre matemàtiques i com tots els informàtics professionals/estudiants d’informàtica sabran, aquestes dos disciplines van molt unides.
Doncs ahir mateix publicava un programa que havia elaborat per a generar les 10 primeres interaccions del Triangle de Sierpinski, i hui publique en què em vaig basar per fer-lo i algunes curiositat sobre aquest fractal.

Formació:
El Triangle de Sierpinski es forma al dividir entre dos cada costat d’un triangle qualsevol i unint els punts de divisió, aquest procés es pot repetir tantes vegades com es vulga en cada nou triangle que apareix.
Així, si tenim el triangle ABC, el nou subtriangle serà AB/2, AC/2, BC/2, si descomptem aquest nou triangle veguem que s’han format 3 nous triángles i repitiriem el procés en cada triangle que es forma. (Vegeu les imagens del triangle per ajudar-vos a comprendre el mecanisme.

Nombre de triangles:
Si ens fixem, en cada interacció apareixen 3 nous triangles en cada ’subtriangle’, excepte en el primer cas, així analitzarem el nombre de triangles (T) en funció de les interaccions (N):

N: 00, 01, 02, 03, …
T: 01, 03, 09, 27, …

Si ens fixem, cada interacció, a partir de la primera, el nombre de triangles és 3^N, com la primera interacció la considerem 0 i x^0=1 podem dir que, el nombre de triangles en una interacció és:
T = 3^N

Àrea del T. Sierpinski:
Si no recorde mal, açò va ser un problema plantejat (i resolt) per el meu professor de matemàtiques l’any passat quan ens introduïa al tema de les successions, dia així:
“Quin és el límit de la succeció An = A0*(3/4)^N?” Jo no sabia que em trobaria eixa succeció de nou, i és que eixa succecció és la que defineix el àrea total del triangle de Sierpinski! I ja us ho dic jo, si feu el llímit d’eixa succecció comprovareu que el resultat és 0, i és “més o menys evident”. M’explique: cada vegada que obtenim un nou triangle en aquest fractal, el que fem és “foradar” la superfície del triangle en el que ens em basat per elaborar el nou, així, esta superfície despareix. Si fem infinitèsimes divisions del triangle, la seva àrea serà 0, ja que podríem dir que quedarà tot “foradat”.

Aquest xicotet anàlisi és el que he pogut descobrir per el meu compte, tal vegada hi hagi alguna dada que no és completament correcta, feu-me-ho saber de seguida, si us plau!
Si voleu més informació busqueu per Google i en fractales.org. Aquest fractal és molt famós, segur que trobeu molta informació.

Filed under: Matemàtiques |
You can follow any responses to this entry through the RSS 2.0 feed. You can leave a response, or trackback from your own site.

Related Posts